2023年合肥工业考研数学例题及解析

2023年合肥工业考研数学例题

2023年合肥工业考研数学科目将会有哪些例题呢？以下是一道典型的例题：

已知函数$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$，则$\lim\limits_{x \to 0}f(x)=$

解析

根据极限的定义，我们需要求出当$x$趋近于0时，函数$f(x)$的极限。因为$f(0)$未定义，所以我们需要使用夹逼定理来求解。

首先，因为$\lim\limits_{x \to 0}\sin x=0$且$\lim\limits_{x \to 0}x=0$，所以$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。

其次，我们注意到在$x \in (0,\pi]$之间，有$\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1$。因此：

\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0^+}\cos x & =1 \\ \lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} & =1 \\ \end{aligned}

最后，在$x \in [-\pi,0)$之间，有$\cos x > \dfrac{\sin x}{x} > -1$。因此：

\begin{aligned}

2023年合肥工业考研数学例题及解析

\lim\limits_{x \to 0^-}\cos x & =1 \\ \lim\limits_{x \to 0^-}\dfrac{\sin x}{x} & =-1 \\ \end{aligned}

综上所述，因为$\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\sin x}{x}=1$且$\lim\limits_{x \to 0^-}\dfrac{\sin x}{x}=-1$，所以$\lim\limits_{x \to 0}f(x)$不存在。

结论

通过例题的分析，我们可以看出，在考研数学中需要注意函数极限的求解方法。在实际考试中，除了要掌握基本的计算方法外，还需要灵活运用夹逼定理、洛必达法则等高级求解技巧，才能取得好成绩。