2010年考研数学真题及答案解析

一、选择题

1、设函数$f(x)=x^3+3x^2+1$，则$f(x)$有

A. 三个零点

B. 两个零点

C. 一个零点

D. 零个零点

解析：根据零点的定义，只需在$f(x)$的定义域内寻找$f(x)=0$的解即可。由于$f(x)$是一个三次函数，所以它最多有三个实根。通过计算或绘图可以发现，$f(x)$只有一个实根，因此选项C为正确答案。

2、设$a,b$满足$a+b=1$，则$\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}$的最小值为

A. $\dfrac{1}{2}$

B. $\dfrac{2}{5}$

C. $\dfrac{1}{4}$

D. $\dfrac{1}{5}$

[0,\dfrac{1}{4}]$，且$\dfrac{1-2x}{1+x^2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{(x-1/2)^2}{1+(x-1/2)^2}\leq \dfrac{1}{2}$。因此，$\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}\geq \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{5}$，选项B为正确答案。

2010年考研数学真题及答案解析

二、填空题

tt_0^1f^2(x)dx$的最小值为\_\_\_\_\_。

ttttttt_0^1f^2(x)dx$的最小值为0。

^p}{a_1^q}$的最小值为\_\_\_\_\_。

三、解答题

t[(2x+1)\pi t]dt=0$。证明：存在常数$k$，使得$f(x)=kx(1-x)$。

tttftytftytttt^2(\dfrac{\pi x}{2})]=kx(1-x)$，证毕。

2、设$a,b,c$是正实数，证明：$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}$。

解析：根据柯西-施瓦茨不等式，$(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b})(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b))\geq (a+b+c)^2$。因此，$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$。由于$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$，所以$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}$，证毕。